How Imaginary Numbers Were Invented

Wiskunde is ontstaan om onze wereld te kwantificeren. Om land te meten, bewegingen van planeten te voorspellen en handelsverkeer bij te houden. En toen stootte men op een onmogelijk geacht probleem. Het geheim dat leidde tot de oplossing was om wiskunde te scheiden van de echte wereld… om algebra te scheiden van meetkunde en nieuwe getallen te bedenken... zo fantasierijk dat ze denkbeeldig worden genoemd. Ironisch genoeg duiken 400 jaar later juist deze getallen op aan de basis... van onze ster

kste fysische theorie van het heelal. Alleen door de verbinding van wiskunde met de werkelijkheid te verbreken… konden we de ware aard van de werkelijkheid ontdekken. In 1494 publiceert Luca Pacioli, de wiskundeleraar van Leonardo da Vinci, de Summa de Arithmetica… een uitgebreide samenvatting van de wiskunde die destijds in Italië in de Renaissance gekend was. Daarin staat een hoofdstuk over de derdegraadsvergelijking die we vandaag kunnen noteren als ax3 + bx2 + cx + d = 0. Al minstens 4000 j

aar probeert men een algemene oplossing te vinden voor de derdegraadsvergelijking… maar de beschavingen die ermee te maken kregen, ... de Babyloniërs, Grieken, Chinezen, Indiërs, Egyptenaren en Perzen… hadden allemaal geen succes. Volgens Pacioli is er geen oplossing voor de derdegraadsvergelijking. Dit zou op zijn minst een beetje verrassend moeten zijn, want zonder de x3-term... is het gewoon een vierkantsvergelijking. En vele oude beschavingen hadden al duizenden jaren eerder vierkantsvergel

ijkingen opgelost. Vandaag kent iedereen na het vierde middelbaar de algemene oplossing: Maar de meesten gebruiken deze formule zonder iets af te weten van de geometrie... wiskundigen ooit toepasten om ze af te leiden. Toen werd wiskunde nog niet in vergelijkingen opgeschreven. Het werd opgeschreven met woorden en plaatjes. Neem bijvoorbeeld de vergelijking x2 + 26x = 27. In de oude wiskunde werd de term x2 geïnterpreteerd als een letterlijk vierkant met zijden van lengte x. En 26x wordt dan een

rechthoek met 1 zijde van lengte 26 en de andere zijde van lengte x En die twee oppervlakten samen zijn 27. Dus hoe weten we wat x is? We kunnen deze 26x rechthoek nemen en in 2 snijden. Nu heb ik twee 13x rechthoeken en kan ik ze zo plaatsen dat de nieuwe vorm bijna een vierkant is. Er ontbreekt alleen nog een stuk onderaan. Maar ik ken de afmetingen van dit stuk. Het is gewoon 13 op 13. Aangezien ik een 132 of 169 heb toegevoegd aan het linkerdeel van de vergelijking… moet ik ook 169 toevoeg

en aan het rechterdeel van de vergelijking om de gelijkheid te behouden. Dus nu heb ik dit grotere vierkant met zijden van lengte x + 13 en het is gelijk aan 196. De vierkantswortel van 196 is 14. Ik weet dus dat de lengte van de zijden van dit vierkant 14 is, wat betekent dat x = 1. Dit is een mooie visuele manier om een vierkantsvergelijking op te lossen,... maar het is niet volledig. Als je kijkt naar onze oorspronkelijke vergelijking is x = 1 een oplossing, maar -27 ook. Duizenden jaren lang

waren wiskundigen zich niet bewust... van de negatieve oplossingen van hun vergelijkingen… omdat ze het over dingen in de echte wereld hadden, lengtes, oppervlaktes en volumes. Wat zou het betekenen om een vierkant te hebben met zijden met een lengte van -27? Dat slaat nergens op. Dus voor die wiskundigen bestonden er geen negatieve getallen. Je kon aftrekken, dus het verschil berekenen tussen 2 positieve waarden… Maar je kon geen negatief antwoord of negatieve coëfficiënten hebben. Wiskundige

n stonden zo afkerig tegenover negatieve getallen... dat er niet slechts 1 vierkantsvergelijking was. In plaats daarvan waren er 6 verschillende versies zodanig gerangschikt... dat de coëfficiënten altijd positief waren. Bij de derdegraadsvergelijking werd dezelfde aanpak gevolgd. In de 11e eeuw ontdekte de Perzische wiskundige Omar Khayyam 19 verschillende derdegraadsvergelijkingen. Ook hier werden alle coëfficiënten positief gehouden. Hij vond numerieke oplossingen voor enkele ervan door te ki

jken... naar de doorsneden van vormen, zoals hyperbolen en cirkels, maar hij slaagde niet in zijn uiteindelijke doel: een algemene oplossing voor de derdegraadsvergelijking. Hij schreef: “Misschien zal iemand die na ons komt erin slagen om ze te vinden.” 400 jaar later en 4.000 kilometer verderop begint de oplossing vorm te krijgen. Scipione del Ferro is wiskundeprofessor aan de Universiteit van Bologna. Omstreeks 1510 vindt hij een manier om derdegraadsvergelijkingen zonder x2 op te lossen. Dit

is een deelverzameling van derdegraadsvergelijkingen zonder x². Wat doet hij nadat hij een probleem heeft opgelost dat wiskundigen al millennia lang voor een raadsel stelt? Een probleem dat onmogelijk werd geacht door Leonardo da Vinci’s wiskundeleraar? Hij vertelt het aan niemand. Het was niet gemakkelijk om een wiskundige te zijn in de jaren 1500. Je job wordt constant ondermijnd door andere wiskundigen die... op elk moment kunnen opdagen en je uitdagen voor je functie. Het is vergelijkbaar m

et een wiskundeduel. Elke deelnemer legt de andere een reeks vragen voor. Degene die de meeste vragen correct oplost, krijgt de job terwijl de verliezer publiekelijk vernederd wordt. Voor zover del Ferro weet, kan niemand anders in de wereld de derdegraadsvergelijking zonder x2 oplossen. Dus door zijn oplossingen geheim te houden, garandeert hij zijn eigen werkzekerheid. Del Ferro heeft bijna twee decennia lang zijn geheim bewaard. Pas op zijn sterfbed in 1526 vertelt hij het aan zijn leerling A

ntonio Fior Fior is niet zo’n getalenteerde wiskundige als zijn mentor, maar hij is jong en ambitieus. En na del Ferro’s dood, schepte hij op over zijn eigen wiskundige bekwaamheid. Meer bepaald zijn vermogen om derdegraadsvergelijkingen zonder x2-factor op te lossen. Op 12 februari 1535 daagt Fior de wiskundige Niccolo Fontana Tartaglia uit… die kort daarvoor naar Fior’s geboortestad Venetië was verhuisd. Niccolo Fontana is vertrouwd met tegenslag. Toen hij een kind was, werd zijn gezicht openg

esneden door een Franse soldaat en sindsdien stottert hij. Daarom staat hij bekend als Tartaglia, wat stotteraar betekent in het Italiaans. Tartaglia groeide op in armoede en heeft grotendeels aan zelfstudie gedaan. Hij werkte zich omhoog in de Italiaanse maatschappij om een gerespecteerd wiskundige te worden. Nu staat dat allemaal op het spel. Zoals gebruikelijk geeft Tartaglia in de uitdaging een diverse reeks van 30 problemen aan Fior. Fior geeft 30 problemen aan Tartaglia, allemaal derdegraa

dsvergelijkingen zonder x2. Elke wiskundige heeft 40 dagen de tijd om de 30 problemen op te lossen die hij heeft gekregen. Fior kan geen enkel probleem oplossen. Tartaglia lost de 30 derdegraadsvergelijkingen zonder x2 van Fior in 2 uur op. Het lijkt erop dat Fior’s hoogmoed zijn ondergang was. Vóór de uitdaging vernam Tartaglia dat Fior beweerde dat hij de derdegraadsvergelijking... zonder x2 had opgelost, maar hij is sceptisch. “Ik achtte hem niet in staat om zelf zo’n regel te vinden”, schrij

ft Tartaglia. Maar het gerucht deed de ronde dat een groot wiskundige het geheim aan Fior had onthuld,... wat veel geloofwaardiger was. Nu hij weet dat er een oplossing bestaat voor de derdegraads- vergelijking... en met zijn inkomsten op het spel... gaat Tartaglia zelf aan de slag om de derdegraadsvergelijking zonder x2 op te lossen. Hiervoor trekt hij het idee van het vervolledigen van het vierkant door naar drie dimensies. Neem de vergelijking x3 + 9x = 26. Je kunt x3 zien als het volume van

een kubus met zijden van lengte x. Als je er een volume van 9x bij optelt, krijg je 26. Dus net als bij het voltooien van het vierkant, moeten we aan de kubus toevoegen... om het volume met 9x te vergroten. Stel dat je 3 zijden van deze kubus over een afstand y verlengt… waardoor een nieuwe, grotere kubus ontstaat met zijden van een lengte die je z noemt. Z is gewoon x + y. De oorspronkelijke kubus is uitgebreid en we kunnen het extra volume opdelen in 7 vormen. Er zijn 3 rechthoekige prisma’s

met afmetingen x op x op y, ... en nog eens 3 smallere prisma’s met afmetingen x op y op y. En er is een kubus met een volume van y3. Tartaglia herschikt de zes rechthoekige prisma’s tot één blok. Eén zijde heeft als lengte 3y, de andere heeft als lengte x + y. Dat is z, en de hoogte is x. Het volume van deze vorm is dus de basis, 3yz maal de hoogte x. Tartaglia beseft dat dit volume perfect de 9x in de vergelijking kan voorstellen, als de basis gelijk is aan 9. Dus stelt hij 3yz = 9. Als we de

kubus weer in elkaar zetten, zien we dat we het ene kleine y3 blokje missen. Dus kunnen we de kubus compleet maken door y3 aan beide kanten van de vergelijking toe te voegen. Nu hebben we z3, de grootste kubus = 26 + y3. We hebben twee vergelijkingen en twee onbekenden. Als we de 1ste vergelijking oplossen voor z en vervangen in de 2de, krijgen we y6 + 26y3 = 27. Op het eerste gezicht lijkt het alsof we er nu slechter voor staan dan in het begin. De variabele is nu verheven tot de zesde macht, i

n plaats van de derde. Maar als je y3 als een nieuwe variabele beschouwt, is de vergelijking in feite een vierkantsvergelijking… dezelfde vierkantsvergelijking die we hebben opgelost door de kubus te vervolledigen. Dus we weten dat y3 = 1, wat betekent dat y = 1, en z = 3/y dus z = 3. En aangezien x + y = z, moet x = 2, ... wat inderdaad een oplossing is van de oorspronkelijke vergelijking. En daarmee wordt Tartaglia de tweede mens op aarde die de negatieve derdegraadsvergelijking oplost. Om zic

h het geometriewerk te besparen voor elke nieuwe kubus... vat Tartaglia zijn methode samen in een algoritme. Een reeks instructies. Hij noteert dit niet als een reeks vergelijkingen zoals wij dat vandaag zouden doen. Want moderne wiskundige notatie zou pas over 100 jaar bestaan. Hij noteert dit als een gedicht. Tartaglia’s overwinning heeft hem beroemd gemaakt. Wiskundigen willen maar al te graag weten hoe hij de derdegraadsvergelijking heeft opgelost… vooral Gerolamo Cardano, een geleerde uit M

ilaan. Zoals je kunt raden, wil Tartaglia daar niets van weten. Hij weigert ook maar één vraag van de wedstrijd te onthullen. Maar Cardano is volhardend. Hij schrijft een reeks brieven waarin hij vleierij afwisselt met vijandige aanvallen. Met de belofte van een introductie bij zijn rijke begunstiger... slaagt Cardano er toch in om Tartaglia naar Milaan te lokken. En daar op 25 maart 1539 onthult Tartaglia zijn methode. Maar pas nadat hij Cardano gedwongen had een plechtige eed af te leggen... d

at hij de methode aan niemand zou vertellen, niet zou publiceren en ze alleen in code zou noteren. “Zodat na mijn dood niemand het zal begrijpen.” Cardano is opgetogen en gaat onmiddellijk aan de slag met Tartaglia’s algoritme. Maar hij heeft een groter doel voor ogen: een oplossing voor de volledige derdegraadsvergelijking, inclusief x2. En wonder boven wonder vindt hij de oplossing. Als je x vervangt door x – b/3a, dan vallen alle x2 weg. Dit is de manier om elke algemene derdegraadsvergelijki

ng om te zetten... in een derdegraadsvergelijking zonder x2. Die kan dan worden opgelost met de formule van Tartaglia. Cardano is zo enthousiast dat hij het probleem heeft opgelost... waarmee de beste wiskundigen al duizenden jaren worstelen… dat hij het wil publiceren. In tegenstelling tot zijn collega’s hoeft Cardano de oplossing niet geheim te houden. Hij verdient zijn brood niet als wiskundige, maar als arts en beroemd intellectueel. Voor hem is het krediet waardevoller dan het geheim. Het

enige probleem is de eed die hij aan Tartaglia heeft gezworen, die hij niet mag verbreken. En je zou denken dat het hier ophoudt. Maar in 1542 reist Cardano naar Bologna om naar een wiskundige te gaan... die toevallig de schoonzoon is van Scipione del Ferro. De man die vóór zijn dood de oplossing van de derdegraadsvergelijking zonder x2... onthuld had aan Antonio Fior. Cardano vindt de oplossing in del Ferro’s oude notitieboekje, dat hij tijdens het bezoek te zien kreeg. Deze oplossing is tienta

llen jaren ouder dan die van Tartaglia. Cardano kan nu de hele oplossing van de derdegraadsvergelijking publiceren... zonder de eed aan Tartaglia te schenden. Cardano Ars Magna publiceert drie jaar later, De Grote Kunst,... een geactualiseerd compendium van de wiskunde. “Geschreven in 5 jaar, opdat deze 500 jaar zou meegaan.” Cardano schrijft een hoofdstuk met uniek meetkundig bewijs... voor alle 13 rangschikkingen van de derdegraadsvergelijking. Hoewel hij de bijdragen van Tartaglia, del Ferro

en Fior erkent, is Tartaglia op zijn zachtst gezegd ontevreden. Hij schrijft beledigende brieven aan Cardano en cc’t een groot deel van de wiskundegemeenschap. En hij heeft een punt. Tot op heden wordt de algemene oplossing van de derdegraads-vergelijking... vaak de methode van Cardano genoemd. Maar Ars Magna is een fenomenale prestatie. Het drijft de geometrische redenering tot haar breekpunt. Letterlijk. Terwijl Cardano Ars Magna schrijft, stuit hij op derdegraads-vergelijkingen... die je nie

t op de gewone manier kan oplossen... zoals x³ = 15x + 4. Als je dit in het algoritme stopt, krijg je een oplossing die de vierkantswortels van negatieve getallen bevat. Cardano vraagt Tartaglia ernaar. Die ontwijkt het en beweert dat Cardano... niet slim genoeg is om zijn formule goed te gebruiken. Eigenlijk heeft Tartaglia ook geen idee wat hij moet doen. Cardano loopt terug door de geometrische afleiding van een soortgelijk probleem... om te zien wat er precies fout gaat. Terwijl het snijden

en herschikken van de 3D-kubus prima werkt… resulteert de laatste vierkantsvergelijking voor de vervollediging van het vierkant... in een geometrische paradox. Cardano vindt een deel van een vierkant dat een oppervlakte van 30 moet hebben,... maar ook zijden met 5 als lengte. Aangezien het volledige vierkant een oppervlakte van 25 heeft… moet Cardano om het vierkant te vervolledigen op een of andere manier een negatief gebied toevoegen. Dat is waar de vierkantswortels van negatieven vandaan kome

n, het idee van negatieve gebieden. Dit is niet de eerste keer dat vierkantswortels van negatieven opduiken in de wiskunde. Eerder in Ars Magna kwam volgend probleem aan bod: Vind twee getallen die optellen tot 10 en vermenigvuldigen tot 40. Je kunt deze vergelijkingen combineren tot de vierkantsvergelijking x² + 40 = 10x. Maar als je dit in de vierkantsformule stopt, bevatten de oplossingen de vierkantswortels van negatieven. De logische conclusie is dat er geen oplossing bestaat. Dit kan je

nagaan door het oorspronkelijke probleem te bekijken. Er zijn geen twee reële getallen die optellen tot 10 en vermenigvuldigen tot 40. Wiskundigen begrepen dat de wiskunde met vierkantswortels van negatieve getallen... wou aangeven dat er geen oplossing is. Maar deze derdegraadsvergelijking is anders. Met een beetje gokken en controleren kan je achterhalen dat x = 4 een oplossing is. Waarom biedt de methode die voor elke andere derdegraadsvergelijking werkt,... geen logische oplossing voor dit

probleem? Cardano ziet geen uitweg en vermijdt dit in Ars Magna... door te zeggen dat het idee van vierkantswortels van negatieven… “even subtiel als nutteloos is”. Maar zo’n 10 jaar later gaat de Italiaanse ingenieur Rafael Bombelli verder waar Cardano ophield. Hij laat zich niet afschrikken door de vierkantswortels van negatieven... en de onmogelijke meetkunde die daaruit voortkomt. Hij wil doorheen de chaos een weg vinden naar de oplossing. Hij merkt op dat de vierkantswortel van een negatie

f element... “noch positief noch negatief kan worden genoemd”… en maakt er zijn eigen nieuwe type getal van. Bombelli stelt dat je twee termen in Cardano’s oplossing kunt voorstellen als een combinatie... van een gewoon getal en dit nieuwe type getal, dat vierkantswortel -1 omvat. Zo komt hij erachter dat de twee derdemachtswortels in Cardano’s vergelijking gelijk zijn aan 2... of vierkantswortel -1 ongeveer. Dus als hij ze in de laatste stap bij elkaar optelt, vallen deze vierkantswortels weg,

... en blijft het juiste antwoord, 4, over. Dit lijkt wel een wonder. Cardano’s methode werkt, maar je moet het geometrische bewijs... ervan ligt links laten liggen. Negatieve gebieden, die in de realiteit nergens op slaan,... moeten als tussenstap dienen om tot een oplossing te komen. De volgende honderd jaar krijgt de moderne wiskunde vorm. In de jaren 1600 introduceert François Viète de moderne symbolische notatie voor algebra. Zo maakt hij een einde aan de millennialange traditie van wiskun

deproblemen in tekeningen... en beschrijvingen in woorden. Geometrie is niet langer de bron van de waarheid. René Descartes maakt uitvoerig gebruik van vierkantswortels van negatieven... en maakt ze daardoor populair. En hoewel hij het nut ervan inziet, noemt hij ze denkbeeldige getallen, een naam die blijft hangen. Daarom introduceerde Euler later de letter i om vierkantswortel -1 voor te stellen. In combinatie met gewone getallen vormen ze complexe getallen. De derdegraadsvergelijking leidde

tot de uitvinding van deze nieuwe getallen en scheidde de algebra van de meetkunde. Door los te laten wat de beste beschrijving van de werkelijkheid lijkt, meetkunde die je kunt zien en aanraken… krijg je een veel krachtigere en completere wiskunde die echte problemen kan oplossen. En de derdegraadsvergelijking blijkt nog maar het begin te zijn. In 1925 zoekt Erwin Schrödinger naar een golfvergelijking die het gedrag van kwantumdeeltjes regelt... voortbouwend op het inzicht van de Broglie dat

materie uit golven bestaat. Hij bedenkt een van de belangrijkste en beroemdste natuurkundige vergelijkingen: ... de Schrödingervergelijking. En prominent aanwezig daarin is i, de vierkantswortel -1. Terwijl wiskundigen gewend zijn geraakt aan denkbeeldige getallen, zijn natuurkundigen dat niet. Zij voelen zich er niet prettig bij om ze in zo’n fundamentele theorie te zien opduiken. Schrödinger schrijft: "Wat onaangenaam is en waartegen bezwaar moet worden gemaakt, is het gebruik van complexe ge

tallen. De golffunctie Psi is zeker fundamenteel een reële functie.” Dit lijkt een terecht bezwaar… maar waarom duikt een denkbeeldig getal uit de oplossing van derdegraadsvergelijkingen op in de fundamentele natuurkunde? Dat komt door enkele unieke eigenschappen van denkbeeldige getallen. Denkbeeldige getallen bestaan in een dimensie loodrecht op de reële getallenlijn. Samen vormen zij het complexe vlak. Kijk wat er gebeurt als we meermaals vermenigvuldigen met i. We beginnen bij 1. 1 x i = i i

x i = -1, per definitie. -1 maal i = -i en -i x i = 1 We zijn terug bij het begin en als we blijven vermenigvuldigen met i zal het punt blijven ronddraaien. Dus als je met i vermenigvuldigt, draai je in feite 90° in een complex vlak. Er bestaat een functie die meermaals met i vermenigvuldigt naarmate je langs de X-as naar beneden gaat. En dat is eix. Het creëert een spiraal door deze rotaties in feite over de hele X-as uit te spreiden. Als je naar het echte deel van de spiraal kijkt, is het ee

n cosinusgolf. Als je naar het denkbeeldige deel kijkt, is het een sinusgolf. De twee karakteristieke functies die golven beschrijven, zijn beide vervat in eix. Als Schrödinger een golfvergelijking opschrijft, gaat hij ervan uit dat de oplossingen er ongeveer zullen uitzien als eix… meer bepaald ei(kx-ωt). Je kunt je afvragen waarom hij die formulering zou gebruiken en niet gewoon een eenvoudige sinusgolf… maar de exponentiële functie heeft enkele nuttige eigenschappen. Als je de afgeleide neemt

ten opzichte van positie of tijd, is die afgeleide evenredig met de oorspronkelijke functie. En dat klopt niet als je de sinusfunctie gebruikt, waarvan de afgeleide cosinus is. En aangezien de Schrödingervergelijking lineair is, kan je een willekeurig aantal oplossingen van die vorm optellen… en zo elke golfvorm creëren die je maar wilt, die ook een oplossing zal zijn voor de Schrödingervergelijking. De natuurkundige Freeman Dyson schreef: “Schrödinger voegde vierkantswortel -1 toe aan de ver

gelijking, en plotseling werd het duidelijk. Plotseling werd het een golfvergelijking in plaats van een warmtegeleidingsvergelijking. Schrödinger ontdekte dat de vergelijking oplossingen heeft die aansluiten bij de gekwantiseerde banen in het Bohr-atoommodel. Nu blijkt dat de Schrödingervergelijking alles wat we weten over het gedrag van atomen correct beschrijft. Het is de basis van de gehele scheikunde en het grootste deel van de natuurkunde. En die vierkantswortel -1 toont aan dat de natuur

werkt met complexe getallen en niet met reële getallen. Deze ontdekking kwam als een complete verrassing, zowel voor Schrödinger als voor alle anderen.” Dus denkbeeldige getallen, die werden ontdekt als een vreemde tussenstap... bij het oplossen van de derdegraadsvergelijking blijken fundamenteel voor onze beschrijving van de realiteit. Alleen door het verband tussen wiskunde en realiteit op te geven,... kunnen we de waarheid ontdekken over hoe het universum werkt. And you learn by doing.