Relativité Générale 1/8 - Ligne d'univers

Bonjour à tous, aujourd’hui dans ScienceClic, nous allons tenter de comprendre les mécanismes mathématiques de la relativité générale. Pour ce faire, nous allons construire petit à petit tous les outils mathématiques essentiels à la relativité générale. Pour éviter de surcharger le contenu, cette série sera découpée en plusieurs parties, dans lesquelles nous allons façonner chaque notion une à une, et qui seront publiées dans des vidéos indépendantes. Les calculs et équations seront montrés, en

espérant que le tout reste abordable, et intuitif. Chaque vidéo commencera par une explication théorique, suivie d’un ou plusieurs exemples concrets, pour mettre en application les concepts développés. Dans cette série, nous allons réinventer chaque concept de A à Z, et pour commencer il est donc important de tout oublier, de faire table rase sur toutes les notions que l’on pense connaître, de partir de rien. Devant nous, une feuille de papier, sur laquelle est tracée une courbe. Cette feuille d

e papier est une image pour représenter la structure de notre univers, l’espace-temps. Celui-ci possède 4 dimensions, mais dans cette image simplifiée, on ne représentera que deux de ces dimensions. La courbe, à la surface de la feuille décrit un objet, par exemple, une pomme. Cette courbe est ce qu'on appelle sa ligne d'univers. Nous allons tenter d’interpréter cette courbe. Pour commencer, on découpe la ligne d’univers en de petits intervalles réguliers. A partir d’un point quelconque que l’on

choisit, on numérote ces intervalles un à un. De cette façon, on munit la courbe d’une graduation, qui nous permet de la transformer en une série de points consécutifs. Ces points seront interprétés comme une trajectoire. La courbe n’est plus un objet, mais un mouvement, elle représente le mouvement de la pomme dans l’espace-temps. On vient d’inventer la notion de déplacement. On appellera ces graduations au cours desquelles se déplace la pomme son temps propre. Le temps propre de la pomme corr

espond au temps qui rythme son évolution interne, en quelque sorte, c’est le temps qui s’écoulerait sur sa propre horloge. Tandis qu’il augmente, la pomme évolue, et se déplace à travers les dimensions de l’espace-temps. Dans la suite, le temps propre sera désigné par la lettre grecque tau. Maintenant que la pomme se déplace sur la feuille, on désire décrire sa position, au fil du temps propre. Pour pouvoir repérer un point de façon mathématique, on va munir notre feuille d’un système de coordon

nées. Un tel système se présente comme une grille que l’on trace sur la feuille. Cette grille possède une origine, un point zéro, à partir duquel on compte les cases une par une. De cette façon, la position de la pomme sur la feuille va être décrite par deux nombres, qu’on appelle ses coordonnées. Il est important de comprendre que cette grille est arbitraire. Elle n’a pas de sens physique, il s’agit simplement d’une convention que l’on choisit, un support abstrait dont l’utilité est de décrire

les points par des nombres. En fonction de la situation que l’on analyse, certains systèmes de coordonnées seront plus appropriés que d’autres, et nous aurons la liberté d’utiliser celui qui nous satisfait. Illustrons tous ces concepts, par un exemple concret. Imaginons une pomme qui tombe verticalement à la surface de la Terre, et que nous observons depuis une très grande distance. En tant qu’observateurs distants, intéressons-nous aux quantités que l’on peut mesurer. D’une part, on peut mesure

r la distance qui sépare la pomme du centre de la Terre. Comme la chute de la pomme se fait verticalement, cette unique distance permet de repérer la position de la pomme, sans ambiguïté. D’autre part, on peut mesurer le temps, par rapport à notre horloge, qui ne va pas forcément s’écouler de la même façon que le temps propre de la pomme. De cette façon, on peut définir deux coordonnées, qu’on appellera t pour le temps, et r pour l’altitude, qui permettent de positionner la pomme dans l’espace-t

emps de façon relative à notre point de vue. Alors que son temps propre s’écoule, la pomme va pouvoir se déplacer librement, et tracer sa trajectoire à l’intérieur de ce système de coordonnées. Attention, il est important de bien distinguer le temps t, qui est une coordonnée, et le temps propre tau, qui représente quant à lui la graduation sur la ligne d’univers. Pour bien comprendre nos deux coordonnées, prenons un exemple. Si la pomme passe par le point dont les coordonnées sont 1 seconde, et

7000 km, cela signifie que lorsque notre horloge indique 1 seconde, on mesurera une distance de 7000 km, entre la pomme et le centre de la Terre. Dans l’espace-temps, il est important de comprendre qu’aucun objet n’est immobile. En effet, même s’il ne se déplace pas dans l’espace, comme une pomme qui resterait immobile sur Terre, un corps va quand même se déplacer dans le temps, la pomme avance chaque seconde vers notre futur. Les objets ont donc tous une vitesse dans l’espace-temps, et c’est un

iquement la répartition de cette vitesse entre les différentes coordonnées d’espace, et de temps, qui va pouvoir varier.