Relativité Générale 8/8 - Résumé et Applications

Bonjour à tous, aujourd’hui dans ScienceClic, les mathématiques de la relativité générale, partie 8, résumé et applications. Pour conclure cette série de vidéos, nous allons résumer tous les concepts développés en proposant un catalogue des différentes solutions possibles, et en les mettant en application dans plusieurs exemples concrets. On pourra calculer la dilatation du temps que subit un astronaute dans la station spatiale, déterminer les équations qui régissent le mouvement d’un objet tomb

ant sur le Soleil, et même la trajectoire de la lumière autour d’un trou noir. Pour commencer, résumons ensemble les différentes étapes qui permettent de résoudre un problème, en relativité générale. La première étape est de déterminer la géométrie d’espace-temps dans laquelle on veut résoudre notre problème. Ceci correspond à trouver la métrique que l’on va utiliser. Dans un univers vide, on utilisera la métrique de Minkowski, qui décrit l’espace-temps plat de la relativité restreinte. Autour d

’une masse sphérique, et statique, on utilisera la métrique de Schwarzschild. C’est la métrique la plus utilisée en relativité générale, car elle est simple, mais peut tout de même s’appliquer à un grand nombre de situations. Autour d’une planète, d’une étoile, ou même autour d’un trou noir statique. Il existe également un panel d’autres métriques, plus exotiques, comme la métrique FLRW, qui décrit l’univers tout entier à grande échelle, la métrique de Morris-Thorne qui décrit un trou de ver non

attractif, ou encore la métrique de Kerr, qui décrit un trou noir tournant rapidement sur lui-même. La seconde étape, est de choisir les coordonnées que l’on va utiliser pour décrire notre problème. En fonction de notre situation, certaines coordonnées sont plus appropriées que d’autres. En particulier, la métrique de Minkowski s’exprime la plupart du temps avec des coordonnées cartésiennes qui reflètent bien son invariance dans l’espace et dans le temps. Et la métrique de Schwarzschild, avec d

es coordonnées à symétrie sphériques, tout comme l’astre que l’on étudie. Cela dit, notre problème peut ne correspondre à aucune de ces solutions habituelles, et il va falloir dans ce cas déterminer par nous-même les coordonnées les plus appropriées, et partir directement de l’équation d’Einstein, pour intégrer les différents tenseurs de courbure, et remonter jusqu’à l’expression du tenseur métrique. Ce procédé peut s’avérer extrêmement complexe, et nécessite la plupart du temps des approximatio

ns, et des simulations informatiques. Une fois nos coordonnées choisies, la troisième étape consiste à analyser les symétries de notre problème, pour réduire son nombre de dimensions. Par exemple, pour décrire le mouvement d’une pomme tombant verticalement, on n’aura besoin que d’une seule dimension d’espace, on peut décrire sa position le long d’un seul axe. De même, pour un objet en orbite autour d’une masse sphérique, la symétrie nous indique que sa trajectoire est confinée dans un plan. Par

symétrie, l’objet n’a aucune raison de sortir de ce plan d’un côté plutôt que de l’autre. Dans ce cas, on peut se ramener à deux dimensions d’espace, en alignant nos coordonnées avec ce plan. Enfin, une fois notre métrique et nos coordonnées déterminées, on va pouvoir exprimer la solution de notre problème. Deux possibilités s’offrent alors à nous. Dans un premier temps, on peut vouloir exprimer les composantes de la vitesse de notre objet, dans l’espace-temps. Par exemple, on peut vouloir expri

mer sa vitesse temporelle, c’est à dire le rythme auquel s’écoule notre temps par rapport à son temps propre. Dans ce cas, on utilisera le fait que tous les objets de l’univers se déplacent à la vitesse de la lumière. La norme de sa vitesse doit donc être égale à la vitesse de la lumière, ce qui nous donne une équation qui relient entre elles les composantes de la vitesse. Dans un second temps, une fois que l’on connaît les différentes composantes de la vitesse de notre objet, on peut s’intéress

er à leur accélération, c’est à dire la façon dont elles évoluent au cours du temps propre. On pourra ainsi décrire des trajectoires complètes à travers l’espace-temps. Par exemple, on peut vouloir calculer le mouvement d’une pomme qui tombe sur Terre, ou la trajectoire de la Terre autour du Soleil. Dans ce cas, il est nécessaire de calculer les symboles de Christoffel, pour pouvoir les injecter dans l’équation des géodésiques. Dans le cas de la pomme par exemple, cette équation nous dit que sa

coordonnée d’altitude va subir une accélération négative, elle tombe. Pour résumer, on commence par choisir une géométrie d’espace-temps pour décrire notre univers. Puis on réduit le nombre de dimensions à étudier à partir des symétries de notre problème. Et enfin, on utilise dans un premier temps la norme de la vitesse, pour relier ses différentes composantes, et dans un second temps l’équation des géodésiques pour calculer la trajectoire complète de l’objet. Grâce à cette méthode nous allons p

ouvoir résoudre étape par étape un grand nombre de problèmes physiques. Exemple 1, la dilatation du temps Dans ce premier exemple, on souhaite déterminer la dilatation du temps que subit un astronaute dans la station spatiale. Pour résoudre ce problème, nous allons suivre les différentes étapes que l’on a énoncées précédemment. Tout d’abord, on choisit la métrique qui décrit le mieux notre situation. On considérera que la Terre est une sphère parfaite, et on négligera sa rotation sur elle-même q

ui est très faible devant la vitesse de la lumière. Dans ce cadre simplifié, l’espace-temps à l’extérieur de la planète est décrit par la métrique de Schwarzschild. Sous sa forme la plus intuitive, la métrique de Schwarzschild s’exprime avec des coordonnées sphériques, mesurées depuis l’infini. On imagine qu’on se place à très grande distance de la planète, et qu’on mesure le temps t, sur notre horloge, l’altitude r de la station depuis le centre de la Terre, et les angles theta, et phi. Le tens

eur métrique prend alors la forme suivante. Une fois le tenseur métrique exprimé dans les quatre dimensions de l’espace-temps, on va tenter de le réduire, en exploitant les symétries du problème. En particulier, on suppose que la station décrit un cercle autour de la Terre. En s’alignant sur ce cercle, on peut s’affranchir d’une part de la coordonnée theta, car la station orbite dans un plan, et d’autre part de l’altitude, r, qui reste constante tout au long de la trajectoire. Ainsi, on peut sup

primer les lignes et colonnes qui correspondent à ces deux coordonnées. La position de l’astronaute, dans l’espace-temps, peut être décrite avec seulement deux dimensions : le temps t, et l’angle phi. Enfin, une fois le tenseur métrique exprimé dans un système de coordonnées, on va pouvoir passer à la résolution du problème. La dilatation du temps que l’on veut calculer, correspond au rapport entre le rythme du temps de notre horloge, t, et le temps propre de l’astronaute. Il s’agit simplement d

e sa vitesse temporelle, c’est le rythme auquel augmente la coordonnée t au cours du temps propre. Pour calculer cette vitesse temporelle, on va utiliser la norme du vecteur vitesse. Dans l’espace-temps, tous les objets se déplacent à la vitesse de la lumière. Notre astronaute se déplace à la fois dans le temps, et dans l’espace, mais sa vitesse globale dans l’espace-temps est toujours égale à c. La norme d’un vecteur en relativité générale, se développe à partir du tenseur métrique, c’est l’équ

ivalent du théorème de Pythagore. En développant la somme, et en y injectant les termes de la métrique de Schwarzschild, on obtient une équation qui relie directement les deux composantes de la vitesse. D’une part, la vitesse angulaire de l’astronaute, c’est à dire le rythme auquel augmente l’angle qu’il forme autour de la Terre, et d’autre part sa vitesse temporelle, qui est la valeur de dilatation nous intéresse. En réarrangeant les termes, et en utilisant le fait que la vitesse d’orbite de la

station est égale à sa vitesse angulaire multipliée par son altitude, on obtient finalement l’expression de la dilatation du temps que subit l’astronaute par rapport à un observateur lointain. Pour la station spatiale internationale, on calcule une dilatation d’une nanoseconde pour chaque seconde de temps propre, le temps de l’astronaute s’écoule légèrement moins vite que celui de l’observateur. Exemple 2, une chute verticale Dans ce deuxième exemple, on souhaite décrire la chute d’un satellite

vers le Soleil. On considère une chute verticale, et on fait l’approximation que le Soleil est une sphère, statique, et peut donc être décrit par la métrique de Schwarzschild. On utilisera les mêmes coordonnées que dans le cas précédent : on se place à une très grande distance, et on mesure le temps t sur notre horloge, l’altitude apparente r entre le satellite et le centre du Soleil, et les deux angles theta et phi. Comme la chute se fait verticalement, les angles theta et phi ne varient pas,

et on peut d'ores et déjà s'en affranchir. La position du satellite ne dépend que de son altitude, et du temps. Dans cet exemple, on ne va pas s’intéresser à la vitesse du satellite, mais à son évolution, on cherche l’accélération de ses coordonnées. Pour ce faire, on commence par calculer les symboles de Christoffel. Dans la métrique de Schwarzschild, avec nos coordonnées, les symboles de Christoffel prennent la forme suivante. Une fois calculés on va pouvoir les injecter dans l’équation des gé

odésiques. L’équation des géodésiques se sépare en deux versions, elle va nous donner l’accélération du satellite sur chacune de ses deux coordonnées. D’une part, son accélération temporelle, et d’autre part l’accélération de son altitude. Ces deux formules nous permettent d’intégrer la trajectoire du satellite au cours du temps propre. Connaissant sa vitesse à un instant donné, on peut calculer son accélération, et ainsi la façon dont changera cette vitesse, à l’instant suivant. Pour aller plus

loin, il est possible d’interpréter ces équations de façon plus élégante. La première équation notamment peut être mise sous une forme différente, qui nous indique la conservation d’une certaine grandeur tout au long de la trajectoire. Cette grandeur est directement liée à ce qu’on appelle l’énergie. Dans la métrique de Schwarzschild, l’énergie du satellite dépend de son altitude, et de la dilatation du temps. Exemple 3, un rayon lumineux Pour finir, en conclusion de cette série de vidéos, nous

allons décrire ensemble la trajectoire d'un rayon lumineux autour d'un trou noir. Dans le cas d'un trou noir statique, l'espace-temps est encore une fois décrit par la métrique de Schwarzschild. En relativité générale, la lumière est un cas bien particulier, que l’on va devoir traiter différemment. Pour comprendre, reprenons quelques notions. On a vu dans les vidéos précédentes qu’un objet trace une ligne d’univers dans l’espace-temps. Cette ligne d’univers peut être graduée, avec des intervall

es de longueur fixe. Cette graduation sur la courbe nous permet d’interpréter la ligne d’univers comme un déplacement, c’est ce qu’on appelle le temps propre. Au cours de son temps propre, l’objet se déplace dans l’espace-temps, et on peut définir un vecteur de vitesse spatio-temporelle. Mais contrairement à la matière, la lumière ne parcourt aucune distance dans l’espace-temps. Deux points sur sa ligne d’univers sont toujours éloignés d’une distance de 0. On ne peut donc pas construire de temps

propre pour la lumière, car elle ne parcourt aucune distance. En particulier, on ne peut pas définir le vecteur vitesse d’un rayon lumineux, car la distance parcourue et le temps propre écoulé sont toujours nuls. Pour résoudre ce problème, on va donc définir une nouvelle graduation, spécialement pour ce rayon lumineux. Cette nouvelle graduation, est ce qu’on appelle un paramètre affine. Contrairement au temps propre, le paramètre affine n’a pas de vrai sens physique, il ne mesure aucune distanc

e dans l’espace-temps. Il s’agit simplement d’une graduation, arbitraire, qui va servir d’intermédiaire mathématique pour les équations. Grâce à ce paramètre affine, on peut définir une sorte de vecteur vitesse, et ainsi utiliser l’équation des géodésiques, qui reste vraie. D’autre part, on va pouvoir également utiliser la norme de ce vecteur. Mais à la différence d’un objet de matière, ce pseudo vecteur vitesse que l’on a artificiellement créé pour le rayon lumineux a une longueur nulle, car la

lumière ne parcourt aucune distance. Sa norme vaut donc 0. A cette petite différence près, on peut toujours appliquer le même raisonnement que pour les problèmes précédents, et obtenir les équations des géodésiques qui régissent le trajet des rayons lumineux, au cours de leur paramètre affine, autour d’un trou noir. Ces équations nous indiquent que la lumière est déviée autour du trou noir, qui agit comme une lentille gravitationnelle.